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Konrad Klepel

• For the generalised Swift-Hohenberg equation with added noise acting uniformly on the system, amplitude equations for a bounded 1D domain and the whole real line are derived. Because of the inherent separation of timescales a dominant sine-like pattern evolves that is governed by a stochastic differential equation called the amplitude equation of the system. The dominant frequencies are not directly forced by the noise but through the nonlinearity composed of a stable cubic and an unstable quadratic term. The noise gets transmitted to these frequencies and leads to multiplicative noise in the amplitude equation. Additional linear and cubic terms appear due to averaging of the noise which adds, depending on parameters, stabilising or destabilising effects.
• Für die verallgemeinerte Swift-Hohenberg Gleichung mit additivem, gleichmäßig auf das System wirkendem Rauschen werden Amplitudengleichungen für ein eindimensionales beschränktes Gebiet und den eindimensionalen Ganzraum hergeleitet. Aufgrund der natürlichen Trennung der Zeitskalen entsteht ein sinus-ähnliches Muster, dessen Amplitude durch eine stochastische Differentialgleichung beschrieben wird. Diese wird Amplitudengleichung des Systems genannt. Das Rauschen beeinflusst die dominanten Frequenzen nicht direkt, sondern mittels Koppelung über die aus einem stabilen kubischen und einem instabilen quadratischen Term bestehende Nichtlinearität, was zu multiplikativem Rauschen in der Amplitudengleichung führt. Außerdem entstehen, mittels Integration des Rauschens über die Zeit, zusätzliche lineare und kubische Terme, welche abhängig von der Wahl der Parameter stabilisierend bzw. destabilisierend wirken.