On Lower Bounds of Second-Order Chord Power Integrals of Convex Discs

  • For planar convex bodies K with positive area A(K), boundary length L(bd K) and second-order chord power integral I2(K), we study the ratio L(bd K)I2(K)/A(K)*A(K) and give reasons supporting the conjecture that its uniform lower bound is 32/3 attained exactly for circles. In particular, using the Ambartzumian-Pleijel representation of I2(K) we derive formulas for I2(K) in case of general triangles, rectangles, and regular N-gons. In these cases and for ellipses we can prove this inequality. A related conjecture is formulated for the class of convex N-gons which exhibits a strengthening of the isoperimetric inequality as well as of Carleman's inequality for convex N-gons. An extension to higher dimensions is discussed at the end of the paper.
  • Für ebene konvexe Scheiben (Eiflächen) K mit positivem Flächeninhalt A(K), Umfang L(bd K) und einem Sehnenpotenzintegral zweiter Ordnung I2(K) wird der Quotient L(bd K)I2(K)/A(K)*A(K) untersucht, und es werden Gründe angegeben, die die Vermutung stützen, dass dieser Quotient die untere Schranke 32/3 besitzt. Diese wird gerade im Falle von Kreisen angenommen. Unter Benutzung der Ambartzumian-Pleijel Darstellung von I2(K) werden geschlossene Formeln für I2(K) im Falle von allgemeinen Dreiecken, Rechtecken und regelmässigen N-Ecken hergeleitet. In diesen Fällen und für Ellipsen kann die Vermutung bewiesen werden. Eine diskrete Variante dieser Vermutung wird für konvexe N-Ecke formuliert, welche zugleich eine Verschärfung der isoperimetrischen als auch der Carlemanschen Ungleichung für konvexe N-Ecke darstellt. Eine Erweiterung auf höhere Dimensionen wird am Ende der Arbeit diskutiert.

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Metadaten
Author:Lothar HeinrichGND
URN:urn:nbn:de:bvb:384-opus4-11051
Frontdoor URLhttps://opus.bibliothek.uni-augsburg.de/opus4/1312
Series (Serial Number):Preprints des Instituts für Mathematik der Universität Augsburg (2009-27)
Type:Preprint
Language:English
Publishing Institution:Universität Augsburg
Release Date:2009/10/19
Tag:Sehnenlängenverteilung; Carlemansche Ungleichung; mittlere Breite; Sehnenpotenzintegral; Poissonscher Geradenprozess
Poisson line process; isoperimetric inequality; Carleman's inequality; chord length distribution; convex discs
GND-Keyword:Integralgeometrie; Poisson-Prozess; Isoperimetrische Ungleichung; Regelmäßiges Polygon; Sehne <Geometrie>
Institutes:Mathematisch-Naturwissenschaftlich-Technische Fakultät
Mathematisch-Naturwissenschaftlich-Technische Fakultät / Institut für Mathematik
Mathematisch-Naturwissenschaftlich-Technische Fakultät / Institut für Mathematik / Lehrstuhl für Stochastik und ihre Anwendungen
Dewey Decimal Classification:5 Naturwissenschaften und Mathematik / 51 Mathematik / 510 Mathematik
Licence (German):Deutsches Urheberrecht mit Print on Demand