Numerical methods for optimization in finance: optimized hedges for options and optimized options for hedging

• In part 1, we propose a numerical method to compute a trading strategy for the hedging of a financial derivative with N hedging instruments. The underlying mathematical framework is local risk minimization in discrete time. The method combines Monte Carlo simulation with least squares regression in analogy to the method of Longstaff and Schwartz. We study the proposed method on two example problems. For both problems the number of hedging instruments is two. One of the hedging instruments is always the underlying asset of the hedging objective. The other hedging instrument is a vanilla put option in the first example and a variance swap in the second example. In part 2, we propose an optimal control approach for the optimization of European double barrier basket options. The basket consists of two assets. The objective is to control the payoff and the rebate at the upper barrier such that the delta of the option is as close as possible to a predefined constant. This gives rise to aIn part 1, we propose a numerical method to compute a trading strategy for the hedging of a financial derivative with N hedging instruments. The underlying mathematical framework is local risk minimization in discrete time. The method combines Monte Carlo simulation with least squares regression in analogy to the method of Longstaff and Schwartz. We study the proposed method on two example problems. For both problems the number of hedging instruments is two. One of the hedging instruments is always the underlying asset of the hedging objective. The other hedging instrument is a vanilla put option in the first example and a variance swap in the second example. In part 2, we propose an optimal control approach for the optimization of European double barrier basket options. The basket consists of two assets. The objective is to control the payoff and the rebate at the upper barrier such that the delta of the option is as close as possible to a predefined constant. This gives rise to a control constrained optimal control problem for the (two-dimensional) Black-Scholes equation with Dirichlet boundary control and finite time control. Based on the variational formulation of the problem in an appropriate Sobolev space setting, we prove the existence of a unique solution and state the first order necessary optimality conditions. Discretization in space by P1 finite elements and discretization in time by the backward Euler scheme results in a fully discrete optimal control problem. Numerical results illustrate the benefits optimized double barrier options.
• Im ersten Teil wird ein numerisches Verfahren zur Berechnung von Handelsstrategien vorgestellt. Mit den Strategien lassen sich Derivate mit N Absicherungsinstrumenten absichern. Die zugrunde liegende mathematische Theorie ist die der lokalen Risikominimierung in diskreter Zeit. Das Verfahren basiert auf Monte-Carlo-Simulation und der Methode der kleinsten Quadrate und hat Ähnlichkeit zum Verfahren von Longstaff und Schwartz. Wir studieren das Verfahren an zwei Beispielen. In beiden Beispielen gibt es zwei Absicherungsinstrumente, wobei eines davon das dem Derivat zugrunde liegende Gut ist. Das andere Absicherungsinstrument ist im ersten Beispiel eine Standardverkaufsoption und im zweiten Beispiel ein Varianzswap. Im zweiten Teil wird ein Optimalsteuerungsansatz zur Optimierung von Europäischen Korboptionen mit doppelter Schwelle vorgestellt. Der Korb besteht aus zwei Werten. Das Ziel ist die Auszahlung an der oberen Schwelle und die Auszahlung bei Fälligkeit derart zu steuern, dassIm ersten Teil wird ein numerisches Verfahren zur Berechnung von Handelsstrategien vorgestellt. Mit den Strategien lassen sich Derivate mit N Absicherungsinstrumenten absichern. Die zugrunde liegende mathematische Theorie ist die der lokalen Risikominimierung in diskreter Zeit. Das Verfahren basiert auf Monte-Carlo-Simulation und der Methode der kleinsten Quadrate und hat Ähnlichkeit zum Verfahren von Longstaff und Schwartz. Wir studieren das Verfahren an zwei Beispielen. In beiden Beispielen gibt es zwei Absicherungsinstrumente, wobei eines davon das dem Derivat zugrunde liegende Gut ist. Das andere Absicherungsinstrument ist im ersten Beispiel eine Standardverkaufsoption und im zweiten Beispiel ein Varianzswap. Im zweiten Teil wird ein Optimalsteuerungsansatz zur Optimierung von Europäischen Korboptionen mit doppelter Schwelle vorgestellt. Der Korb besteht aus zwei Werten. Das Ziel ist die Auszahlung an der oberen Schwelle und die Auszahlung bei Fälligkeit derart zu steuern, dass das Delta der Option so nahe wie möglich zu einer a priori festgelegten Konstanten ist. Das führt auf ein steuerungsbeschränktes Optimalsteuerungsproblem für die zwei-dimensionale Black-Scholes Gleichung mit Dirichlet Randsteuerung und Endzeitsteuerung. Basierend auf der Variationsformulierung des Problems in passenden Sobolev-Räumen zeigen wir die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung. Zudem leiten wir notwendige Optimalitätsbedingungen erster Ordnung her. Diskretisierung im Raum mit P1 Finiten Elementen und Diskretisierung der Zeit mit dem impliziten Euler-Schema führt auf ein volldiskretes Optimalsteuerungsproblem. Numerische Ergebnisse zeugen von den Vorzügen optimierter Europäischer Korboptionen mit doppelter Schwelle.