Open Access

Martin Rasmussen

• Obwohl die Verzweigungstheorie von Gleichungen mit autonomer und periodischer Zeitabhängigkeit seit Jahrzehnten eines der Hauptthemen in der Theorie der dynamischen Systeme ist, gibt es bisher noch keine etablierte korrespondierende Theorie für nichtautonome dynamische Systeme. In dieser Doktorarbeit werden hierzu zwei verschiedene Ansätze entwickelt, die auf speziellen Definitionen der lokalen Attraktivität und Repulsivität basieren. Es wird gezeigt, dass diese Begriffe zu nichtautonomen Morse-Zerlegungen führen, wodurch das globale asymptotische Verhalten von Systemen auf kompakten Phasenräumen beschrieben wird. Ferner werden Methoden der qualitativen Theorie für lineare und nichtlineare Systeme hergeleitet, etwa aus der Spektraltheorie und der Theorie der invarianten Mannigfaltigkeiten. Überdies werden nichtautonome Entsprechungen der klassischen autonomen Verzweigungsmuster betrachtet und eine Verzweigungssituation bei asymptotisch autonomen Systemen diskutiert.
• Although the bifurcation theory of equations with autonomous and periodic time dependence is a major object of research in the study of dynamical systems since decades, the notion of a nonautonomous bifurcation is not yet established. In this thesis, two different approaches are developed which are based on special notions of local attractivity and repulsivity. It is shown that these notions lead to nonautonomous Morse decompositions, which are useful to describe the global asymptotic behavior of systems on compact phase spaces. Furthermore, methods from the qualitative theory for linear and nonlinear systems are derived originating from the spectral theory and the theory of invariant manifolds. Moreover, nonautonomous counterparts of the classical autonomous bifurcation patterns are considered, and a bifurcation scenario of asymptotically autonomous systems is discussed.