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Michael Kieweg

• This thesis is concerned with the development, analysis, and implementation of an adaptive finite element method for distributed elliptic optimal control problems with pointwise unilateral constraints on the state. In particular, two residual-type a posteriori error estimators will be derived. The first one takes advantage of the modified adjoint state, which is defined as some kind of regularization of the adjoint state. Furthermore, this error estimator will, after minor modification, be transfered to the Lavrentiev regularization of the pure state constrained case. Up to a consistency error and data oscillation, reliability and efficiency results concerning the approximation of the state, the control, and the modified adjoint state can be provided for these error estimators. With two numerical examples, the performance of the adaptive algorithm will be investigated. A benefit compared to an uniform refinement strategy will be noticeable. The second developed a posteriori errorThis thesis is concerned with the development, analysis, and implementation of an adaptive finite element method for distributed elliptic optimal control problems with pointwise unilateral constraints on the state. In particular, two residual-type a posteriori error estimators will be derived. The first one takes advantage of the modified adjoint state, which is defined as some kind of regularization of the adjoint state. Furthermore, this error estimator will, after minor modification, be transfered to the Lavrentiev regularization of the pure state constrained case. Up to a consistency error and data oscillation, reliability and efficiency results concerning the approximation of the state, the control, and the modified adjoint state can be provided for these error estimators. With two numerical examples, the performance of the adaptive algorithm will be investigated. A benefit compared to an uniform refinement strategy will be noticeable. The second developed a posteriori error estimator results from a measure extension of the discrete measure appearing in the right-hand side of the adjoint state equation to an element in the space of square integrable functions. This error estimator provides, again up to a consistency error and data oscillation, reliability and efficiency for the approximation error in the control, in the state, and in a semi-continuous auxiliary adjoint state. Another numerical example will show that this error estimator might be advantageous.…
• Diese Dissertation befasst sich mit dem Entwurf, der Analyse und der Implementierung einer adaptiven Finite-Elemente-Methode für verteilte optimale Steuerungsprobleme mit punktweiser Beschränkung der Zustandsvariablen. Insbesondere werden zwei residualbasierte a posteriori Fehlerschätzer entworfen. Der erste benützt einen modifizierten adjungierten Zustand, der als eine Art Regularisierung des adjungierten Zustandes definiert ist. Des Weiteren wird dieser Fehlerschätzer mit kleinen Modifikationen auch auf die Lavrentiev-Regularisierung der reinen Zustandsbeschränkung angewendet. Bis auf Datenoszillation und einen Konsistenzfehler wird für diesen Fehlerschätzer Zuverlässigkeit und Effizienz bezüglich der Approximation der Kontrolle, des Zustandes und des modifizierten adjungierten Zustandes bewiesen. Für zwei numerische Beispiele wird das Verhalten der adaptiven Methode untersucht, wobei ein Vorteil gegenüber einer uniformen Verfeinerungsstrategie erkennbar ist. Der zweite entwickelteDiese Dissertation befasst sich mit dem Entwurf, der Analyse und der Implementierung einer adaptiven Finite-Elemente-Methode für verteilte optimale Steuerungsprobleme mit punktweiser Beschränkung der Zustandsvariablen. Insbesondere werden zwei residualbasierte a posteriori Fehlerschätzer entworfen. Der erste benützt einen modifizierten adjungierten Zustand, der als eine Art Regularisierung des adjungierten Zustandes definiert ist. Des Weiteren wird dieser Fehlerschätzer mit kleinen Modifikationen auch auf die Lavrentiev-Regularisierung der reinen Zustandsbeschränkung angewendet. Bis auf Datenoszillation und einen Konsistenzfehler wird für diesen Fehlerschätzer Zuverlässigkeit und Effizienz bezüglich der Approximation der Kontrolle, des Zustandes und des modifizierten adjungierten Zustandes bewiesen. Für zwei numerische Beispiele wird das Verhalten der adaptiven Methode untersucht, wobei ein Vorteil gegenüber einer uniformen Verfeinerungsstrategie erkennbar ist. Der zweite entwickelte Fehlerschätzer dieser Arbeit resultiert aus einer Erweiterung des diskreten Maßes, das in der rechten Seite der diskreten adjungierten Zustandsgleichung auftaucht, zu einem Element des Raumes der quadratisch integrierbaren Funktionen. Dieser Fehlerschätzer liefert Zuverlässigkeit und Effizienz bezügliche der Approximation der Kontrolle, des Zustandes und eines halbdiskreten adjungierten Hilfszustandes. Dies gilt wieder bis auf Konsistenzfehler und Datenoszillation. Ein weiteres numerisches Beispiel dieser Arbeit zeigt, dass dieser zweite Fehlerschätzer von Vorteil sein kann.…