## Invariance Entropy for Control Systems

• In this thesis, the concept of invariance entropy for nonlinear control systems is introduced, concerning the control task of keeping the system in a compact and controlled invariant subset Q of the state space, for a fixed set of initial states. Invariance entropy measures how often open-loop control functions have to be updated in order to accomplish this control task. Hence, it is an intrinsic quantity of the open-loop system. It is shown that invariance entropy shares several properties with topological entropy; in particular, it is preserved under state equivalence. Further main results of the thesis yield upper and lower bounds, which can be computed directly from the right-hand sides of the differential equations governing the control system. For linear control systems, under mild assumptions, the invariance entropy is given by the sum of the unstable open-loop eigenvalues. For inhomogeneous bilinear control systems, a similar result is proved, but here only an estimate fromIn this thesis, the concept of invariance entropy for nonlinear control systems is introduced, concerning the control task of keeping the system in a compact and controlled invariant subset Q of the state space, for a fixed set of initial states. Invariance entropy measures how often open-loop control functions have to be updated in order to accomplish this control task. Hence, it is an intrinsic quantity of the open-loop system. It is shown that invariance entropy shares several properties with topological entropy; in particular, it is preserved under state equivalence. Further main results of the thesis yield upper and lower bounds, which can be computed directly from the right-hand sides of the differential equations governing the control system. For linear control systems, under mild assumptions, the invariance entropy is given by the sum of the unstable open-loop eigenvalues. For inhomogeneous bilinear control systems, a similar result is proved, but here only an estimate from below can be derived, where the unstable eigenvalues are replaced by minimal unstable Lyapunov exponents on certain invariant subspaces of the control flow associated with the homogeneous system. Also for (nonlinear) control-affine systems, relations between invariance entropy and Lyapunov exponents are derived. Here we impose the additional assumption that the set Q is the topological closure of a control set, i.e., a maximal set of approximate controllability. Under this assumption we show that the invariance entropy is bounded from above by the sum of the unstable Lyapunov exponents of an arbitrary periodic solution with controllable linearization in the interior of Q. For control-affine systems with one-dimensional state space and a single control vector field we derive an explicit formula for the invariance entropy in terms of the drift vector field, the control vector field and their derivatives. As an application, we study a controlled mathematical pendulum, linearized at the unstable position, and compute the invariance entropy of that region in the state space where stabilization is possible. Finally, an alternative characterization of the invariance entropy via so-called invariant coverings is provided. This characterization is used to establish a relation to the minimal data rate necessary to render Q invariant by a causal coding and control law, and to sketch an algorithm for the numerical computation of the invariance entropy.
• In dieser Arbeit wird der Begriff der Invarianz-Entropie für nichtlineare Kontrollsysteme eingeführt im Zusammenhang mit der Kontrollaufgabe, das System bei einer festen Menge von Anfangszuständen in einer kompakten und kontrolliert invarianten Teilmenge Q des Zustandsraums zu halten. Die Invarianz-Entropie ist ein Maß dafür, wie oft Kontrollfunktionen readjustiert werden müssen, um diese Kontrollaufgabe zu lösen. Daher handelt es sich um eine intrinsische Größe des Open-Loop-Systems. Es wird gezeigt, dass Invarianz-Entropie und topologische Entropie verschiedene gemeinsame Eigenschaften haben. Insbesondere bleibt erstere unter stetiger Koordinatentransformation im Zustandsraum erhalten. Weitere Hauptresultate der Arbeit liefern obere und untere Schranken, die unmittelbar aus den rechten Seiten der Differentialgleichungen berechnet werden können, durch welche das Kontrollsystem gegeben ist. Bei linearen Kontrollsystemen ist die Invarianz-Entropie unter milden Voraussetzungen durch dieIn dieser Arbeit wird der Begriff der Invarianz-Entropie für nichtlineare Kontrollsysteme eingeführt im Zusammenhang mit der Kontrollaufgabe, das System bei einer festen Menge von Anfangszuständen in einer kompakten und kontrolliert invarianten Teilmenge Q des Zustandsraums zu halten. Die Invarianz-Entropie ist ein Maß dafür, wie oft Kontrollfunktionen readjustiert werden müssen, um diese Kontrollaufgabe zu lösen. Daher handelt es sich um eine intrinsische Größe des Open-Loop-Systems. Es wird gezeigt, dass Invarianz-Entropie und topologische Entropie verschiedene gemeinsame Eigenschaften haben. Insbesondere bleibt erstere unter stetiger Koordinatentransformation im Zustandsraum erhalten. Weitere Hauptresultate der Arbeit liefern obere und untere Schranken, die unmittelbar aus den rechten Seiten der Differentialgleichungen berechnet werden können, durch welche das Kontrollsystem gegeben ist. Bei linearen Kontrollsystemen ist die Invarianz-Entropie unter milden Voraussetzungen durch die Summe der positiven Eigenwertrealteile gegeben. Für inhomogene bilineare Kontrollsysteme wird ein ähnliches Resultat bewiesen, wobei hier aber nur eine Abschätzung nach unten gezeigt wird, in der die Eigenwertrealteile durch die minimalen instabilen Lyapunov-Exponenten auf gewissen invarianten Unterräumen des Kontrollflusses des zugehörigen homogenen Systems ersetzt werden. Auch für (nichtlineare) kontroll-affine Systeme werden Beziehungen zwischen Invarianz-Entropie und Lyapunov-Exponenten hergeleitet. Hier setzen wir zusätzlich voraus, dass die Menge Q der Abschluss einer Kontrollmenge ist, d.h. einer maximalen Menge approximativer Kontrollierbarkeit. Unter dieser Voraussetzung zeigen wir, dass die Invarianz-Entropie nach oben durch die Summe der positiven Lyapunov-Exponenten einer beliebigen periodischen Lösung mit kontrollierbarer Linearisierung beschränkt ist, die im Inneren der Kontrollmenge verläuft. Für kontroll-affine Systeme mit eindimensionalem Zustandsraum und nur einem Kontrollvektorfeld leiten wir eine explizite Formel für die Invarianz-Entropie her in Termen des Driftvektorfelds, des Kontrollvektorfelds und deren Ableitungen. Als Anwendung davon betrachten wir ein kontrolliertes mathematisches Pendel, das am instabilen Gleichgewicht linearisiert wird, und berechnen die Invarianz-Entropie derjenigen Teilmenge des Zustandsraums, von der aus das System stabilisiert werden kann. Schließlich leiten wir eine alternative Charakterisierung der Invarianz-Entropie mittels sogenannter invarianter Überdeckungen her. Diese Charakterisierung wird dann verwendet, um einen Zusammenhang mit der minimalen Datenrate herzustellen, die nötig ist, um Q durch eine kausale Kodier- und Regelungsvorschrift invariant zu machen, und um einen Algorithmus zur numerischen Berechnung der Invarianz-Entropie zu skizzieren.