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Fatma A. M. Ibrahim

• We consider adaptive space-time finite element approximations of parabolic optimal control problems with distributed controls based on an approach where the optimality system is stated as a fourth order elliptic boundary value problem. The numerical solution relies on the formulation of the fourth order equation as a system of two second order ones which enables the discretization by P1 conforming finite elements with respect to simplicial triangulations of the space-time domain. The resulting algebraic saddle point problem is solved by preconditioned Richardson iterations featuring preconditioners constructed by means of appropriately chosen left and right transforms. The space-time adaptivity is realized by a reliable residual-type a posteriori error estimator which is derived by the evaluation of the two residuals associated with the underlying second order system. Numerical results are given that illustrate the performance of the adaptive space-time finite element approximation.
• Wir betrachten die Approximation adaptiver finiter Raum-Zeit-Elemente von parabolischen Optimalsteuerungsproblemen mit verteilter Steuerung. Das Optimalitätssystem wird dabei als elliptisches Randwertproblem vierter Ordnung angegeben. Um die Gleichung vierter Ordnung numerisch zu lösen, wird sie in ein System von zwei Gleichungen zweiter Ordnung umformuliert. Dies ermöglicht eine Diskretisierung des Raum-Zeit-Gebietes durch P1-konforme finite Elemente mit Triangulierung durch Simplizes. Das hierdurch entstandene algebraische Sattelpunktproblem wird mithilfe des Richardson-Verfahrens mit Vorkonditionierung gelöst. Die Raum-Zeit Adaptivität wird durch einen zuverlässigen residualbasierten a posteriori Fehlerschätzer verwirklicht, der sich aus den Schätzungen der zwei Residuen der zugrunde liegenden Systeme zweiter Ordnung zusammensetzt. Numerische Ergebnisse stellen schließlich bildlich das Verhalten der Approximation der adaptiven finiten Raum-Zeit-Elemente dar.