Adaptive Mixed Finite Element Approximations of Distributed Optimal Control Problems for Elliptic Partial Differential Equations

  • We consider adaptive mixed finite element methods (AMFEM) for unconstrained optimal control problems associated with linear second order elliptic boundary value problems featuring distributed controls and a quadratic tracking-type objective functional. The focus is on solvers for the associated optimality system and on residual-type a posteriori error estimators for adaptive refinement of the underlying simplicial triangulations of the computational domain. In particular, for the numerical solution of the mixed finite element discretized optimality system we use preconditioned Richardson-type iterations with preconditioners that can be constructed by means of appropriately chosen left and right transforms. The residual type a posteriori error estimators can be derived within the framework of a unified a posteriori error control which facilitates the proof of its reliability by evaluating the residuals in the respective dual norms. Numerical results illustrate the performance of theWe consider adaptive mixed finite element methods (AMFEM) for unconstrained optimal control problems associated with linear second order elliptic boundary value problems featuring distributed controls and a quadratic tracking-type objective functional. The focus is on solvers for the associated optimality system and on residual-type a posteriori error estimators for adaptive refinement of the underlying simplicial triangulations of the computational domain. In particular, for the numerical solution of the mixed finite element discretized optimality system we use preconditioned Richardson-type iterations with preconditioners that can be constructed by means of appropriately chosen left and right transforms. The residual type a posteriori error estimators can be derived within the framework of a unified a posteriori error control which facilitates the proof of its reliability by evaluating the residuals in the respective dual norms. Numerical results illustrate the performance of the AMFEM.show moreshow less
  • Wir betrachten adaptive gemischte Finite-Elemente-Methoden (AMFEM) zur numerischen Lösung unrestringierter optimaler Kontrollprobleme mit verteilten Kontrollen und quadratischem Zielfunktional für lineare elliptische Randwertprobleme zweiter Ordnung. Der Schwerpunkt liegt auf der Entwicklung und Implementation von effizienten Lösern für das assozierte Optimalitätssystem und von residualbasierten a posteriori Fehlerschätzern zur adaptiven Gitterverfeinerung. Insbesondere werden zur numerischen Lösung des diskreten Optimalitätssystems vorkonditionierte Richardson Iterationen verwendet, wobei sich die Vorkonditionierer aus geeignet gewählten links- bzw. rechtstransformierenden Iterationen ergeben. Die residualbasierten a posteriori Fehlerschätzer werden im Rahmen einer vereinheitlichten a posteriori Fehleranalysis hergeleitet, die den Nachweis der Zuverlässigkeit durch die Auswertung der Residuen in den jeweiligen dualen Normen ermöglicht. Numerische Ergebnisse belegen dieWir betrachten adaptive gemischte Finite-Elemente-Methoden (AMFEM) zur numerischen Lösung unrestringierter optimaler Kontrollprobleme mit verteilten Kontrollen und quadratischem Zielfunktional für lineare elliptische Randwertprobleme zweiter Ordnung. Der Schwerpunkt liegt auf der Entwicklung und Implementation von effizienten Lösern für das assozierte Optimalitätssystem und von residualbasierten a posteriori Fehlerschätzern zur adaptiven Gitterverfeinerung. Insbesondere werden zur numerischen Lösung des diskreten Optimalitätssystems vorkonditionierte Richardson Iterationen verwendet, wobei sich die Vorkonditionierer aus geeignet gewählten links- bzw. rechtstransformierenden Iterationen ergeben. Die residualbasierten a posteriori Fehlerschätzer werden im Rahmen einer vereinheitlichten a posteriori Fehleranalysis hergeleitet, die den Nachweis der Zuverlässigkeit durch die Auswertung der Residuen in den jeweiligen dualen Normen ermöglicht. Numerische Ergebnisse belegen die Leistungsfähigkeit der AMFEM.show moreshow less

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Metadaten
Author:Meiyu Qi
URN:urn:nbn:de:bvb:384-opus-18135
Frontdoor URLhttps://opus.bibliothek.uni-augsburg.de/opus4/1609
Title Additional (German):Adaptive gemischte Finite Elemente Approximationen verteilter optimaler Steuerungsprobleme für elliptische partielle Differentialgleichungen
Advisor:Ronald H. W. Hoppe
Type:Doctoral Thesis
Language:English
Publishing Institution:Universität Augsburg
Granting Institution:Universität Augsburg, Mathematisch-Naturwissenschaftlich-Technische Fakultät
Date of final exam:2011/08/09
Release Date:2012/02/09
Tag:A-posteriori-Abschätzung
AMFEM; optimal control; residual-type a posteriori error estimator; preconditioned Richardson-type iteration
GND-Keyword:Elliptisches Randwertproblem; Elliptische Differentialgleichung; Optimale Kontrolle; Finite-Elemente-Methode; Fehlerabschätzung
Institutes:Mathematisch-Naturwissenschaftlich-Technische Fakultät
Mathematisch-Naturwissenschaftlich-Technische Fakultät / Institut für Mathematik
Dewey Decimal Classification:5 Naturwissenschaften und Mathematik / 51 Mathematik / 510 Mathematik
Licence (German):Deutsches Urheberrecht