Dreidimensionale Penrose-Muster und Selbstähnlichkeit

Three-dimensional Penrose tilings and self-similarity

  • Roger Penrose hat 1974 das nach ihm benannte Penrose-Muster, eine Klasse von aperiodischen Pflasterungen der Ebene, konstruiert, welches aus zwei Sorten von Pflastersteinen zusammengesetzt ist und eine Art Selbstähnlichkeit aufweist: Die Pflastersteine besitzen eine Unterteilung in formgleiche kleinere Pflastersteine, die nach dem gleichen Muster weiter unterteilt werden können und auf jeder dieser Stufen selbst wiederum ein Penrose-Muster bilden. Einen solchen Vorgang bezeichnet man als Deflation, seine Umkehrung entsprechend als Inflation. Ferner ist diese besondere Eigenschaft, welche elementar aus der Geometrie des regelmäßigen Fünfecks folgt, rein lokal: Die Unterteilung der einzelnen Pflastersteine ist in jedem Teil der Pflasterung unabhängig vom Rest der Pflasterung. Gleichzeitig lässt sich die Penrose-Pflasterung aber auch global gewinnen: durch Projektion aus dem 5-dimensionalen Raum. Mit Hilfe dieser Projektionsmethode, die 1981 von Nicolaas Govert de Bruijn als einRoger Penrose hat 1974 das nach ihm benannte Penrose-Muster, eine Klasse von aperiodischen Pflasterungen der Ebene, konstruiert, welches aus zwei Sorten von Pflastersteinen zusammengesetzt ist und eine Art Selbstähnlichkeit aufweist: Die Pflastersteine besitzen eine Unterteilung in formgleiche kleinere Pflastersteine, die nach dem gleichen Muster weiter unterteilt werden können und auf jeder dieser Stufen selbst wiederum ein Penrose-Muster bilden. Einen solchen Vorgang bezeichnet man als Deflation, seine Umkehrung entsprechend als Inflation. Ferner ist diese besondere Eigenschaft, welche elementar aus der Geometrie des regelmäßigen Fünfecks folgt, rein lokal: Die Unterteilung der einzelnen Pflastersteine ist in jedem Teil der Pflasterung unabhängig vom Rest der Pflasterung. Gleichzeitig lässt sich die Penrose-Pflasterung aber auch global gewinnen: durch Projektion aus dem 5-dimensionalen Raum. Mit Hilfe dieser Projektionsmethode, die 1981 von Nicolaas Govert de Bruijn als ein algebraischer Ansatz zur Erzeugung des Penrose-Musters entwickelt wurde, sind viele weitere Pflasterungen in Ebene und Raum konstruierbar – allerdings lassen die meisten von ihnen eben keine Unterteilung durch eine rein lokale Konstruktion zu. In der vorliegenden Arbeit wird diese Frage nun für das dreidimensionale Penrose-Muster untersucht, d.h. eine dreidimensionale, durch die Projektionsmethode erzeugte Schar von Pflasterungen, bei der in gewissem Sinne der Ikosaeder die Rolle des Fünfecks übernimmt. Solche Pflasterungen sind mögliche Modelle für Quasikristalle, die Frage ihrer lokalen Konstruierbarkeit ist deshalb auch physikalisch von Bedeutung. Die Vorgehensweise dieser Arbeit ist jedoch rein mathematisch: Sie ist in der Geometrie verankert und zeigt einen Weg auf, das dreidimensionale Penrose-Muster und dessen besondere Eigenschaften nicht mittels Computeralgorithmen, sondern vielmehr durch elementargeometrische Konstruktionen zu erschließen. Mit Hilfe der von de Bruijn eingeführten Projektionsmethode wird einleitend in Kapitel 1 die Konstruktion der beiden Pflastersteine gezeigt sowie die Deflationsabbildung definiert, bevor dann in einem weiteren Schritt in Kapitel 2 die möglichen Eckenkonstellationen dieses Musters ermittelt werden. Mit diesem Wissen soll in Kapitel 3 schließlich die Frage beantwortet werden, was unter Deflation passiert: Kann das durch die Projektionsmethode erzeugte dreidimensionale Penrose-Muster eindeutig und durch eine rein lokale Konstruktion unterteilt werden wie etwa das ursprüngliche Penrose-Muster oder nicht? Und falls nein: Gibt es gewisse feste Strukturen, die immer existieren? Und wie verhalten sich unter Umständen bestehende Wahlmöglichkeiten? Das Hauptergebnis der vorliegenden Arbeit ist die Konstruktion einer festen Struktur innerhalb eines jeden Pflastersteins, welche selbst die volle Symmetrie des Pflastersteins besitzt und die Unterteilung bereits zu einem großen Teil festlegt. Daneben existieren aber auch Lücken, also Bereiche, innerhalb derer es bestimmte Wahlfreiheiten gibt. Diese Wahlfreiheiten unterscheiden sich jedoch nur um Symmetrien, welche sich nicht auf die umgebende Pflasterung fortsetzen lassen. Die bestehenden Wahlfreiheiten beschränken sich also lediglich auf unterschiedliche Einpassungsmöglichkeiten: Anzahl und Art der Pflastersteine, mit denen die Lücken gefüllt werden, ist jeweils eindeutig. Mit etwas mehr Aufwand können auch die vorhandenen Einpassungsmöglichkeiten genau bestimmt werden. Dies zeigt, dass die Unterteilung des dreidimensionalen Penrose-Musters tatsächlich rein lokal bestimmt ist. Trägt ein Quasikristall diese Struktur, so kennt jedes Atom seinen Platz, genau wie bei periodischen Kristallstrukturen.show moreshow less
  • In 1974 Roger Penrose has constructed the Penrose tiling, a class of aperiodic tilings of the Euclidean plane. It is made from only two sorts of tiles, the two isosceles triangles formed by the sides and diagonals of the regular pentagon. This tiling enjoys a sort of self-similarity: the tiles are subdivided uniquely by smaller tiles with equal shapes, and also the smaller tiles can be subdivided again and again by the same rule. On each stage, the small tiles together form another Penrose tiling. This process is called deflation, its inverse process is called inflation. The described property which follows in an elementary way from the pentagon geometry is purely local: the subdivision in each part of the tiling is independent from the rest of the tiling. But the same tiling can be obtained also globally by a 2-dimensional projection from the 5-dimensional space. This method has been developed by Nicolaas Govert de Bruijn as an algebraic approach to Penrose patterns and it can be usedIn 1974 Roger Penrose has constructed the Penrose tiling, a class of aperiodic tilings of the Euclidean plane. It is made from only two sorts of tiles, the two isosceles triangles formed by the sides and diagonals of the regular pentagon. This tiling enjoys a sort of self-similarity: the tiles are subdivided uniquely by smaller tiles with equal shapes, and also the smaller tiles can be subdivided again and again by the same rule. On each stage, the small tiles together form another Penrose tiling. This process is called deflation, its inverse process is called inflation. The described property which follows in an elementary way from the pentagon geometry is purely local: the subdivision in each part of the tiling is independent from the rest of the tiling. But the same tiling can be obtained also globally by a 2-dimensional projection from the 5-dimensional space. This method has been developed by Nicolaas Govert de Bruijn as an algebraic approach to Penrose patterns and it can be used in order to construct many other tilings in the Euclidean 2-plane and 3-space. However, most of these tilings do not admit a subdivision with a local construction. In the present paper this problem of a locally defined deflation subdivision is investigated for the three-dimensional Penrose pattern, more precisely, for a class of 3-dimenisonal tilings for which in some sense the pentagon is replaced by the icosahedron. Such tilings are considered as possible models for quasicrystals; therefore the question of a local construction has some physical significance. However this paper follows a purely mathematical course and it is based on geometry. It shows how to understand the icosahedral Penrose pattern not by computer algorithms, but by elementary local geometric constructions. In Chapter 1, starting from de Bruijn's projection method from 6 to 3 dimensions for the icosahedral Penrose tiling, the two tiles (the building blocks) are constructed and the specific deflation is determined. In chapter 2 the possible vertex configurations of this pattern are established. This knowledge is used in Chapter 3 to investigate what happens to the tiles under deflation. Do these patterns generated by the projection method allow a unique locally defined subdivision, like the original Penrose tilings? Or at least, are there certain fixed substructures present in every subdivision? And what are the remaining choices? The main result is the construction of such a fixed structure in every tile, having the full symmetry of the tile. It determines the deflation subdivision completely up to small gaps which allow several fillings; these fillings just differ by symmetries which however do not extend to the ambient tiling. With some greater effort, the possible fillings can also be determined. This shows that the icosahedral Penrose tiling is essentially locally determined. If a quasicrystal has such a structure, then each atom knows its place, like in a periodic crystal.show moreshow less

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Metadaten
Author:Ruth Maria Katharina Dietl
URN:urn:nbn:de:bvb:384-opus4-16163
Frontdoor URLhttps://opus.bibliothek.uni-augsburg.de/opus4/1616
Advisor:Jost-Hinrich Eschenburg
Type:Doctoral Thesis
Language:German
Publishing Institution:Universität Augsburg
Granting Institution:Universität Augsburg, Mathematisch-Naturwissenschaftlich-Technische Fakultät
Date of final exam:2011/10/14
Release Date:2012/05/08
Tag:Deflation (Mathematik); Projektionsmethode; Goldener Schnitt; Goldene Isozonoeder; Penrose-Muster
deflation; Penrose tilings; self-similarity; projection method; golden section
GND-Keyword:Parkettierung; Ikosaeder; Quasikristall; Selbstähnlichkeit; Penrose, Roger <Mathematiker>
Institutes:Mathematisch-Naturwissenschaftlich-Technische Fakultät
Mathematisch-Naturwissenschaftlich-Technische Fakultät / Institut für Mathematik
Mathematisch-Naturwissenschaftlich-Technische Fakultät / Institut für Mathematik / Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik
Mathematisch-Naturwissenschaftlich-Technische Fakultät / Institut für Mathematik / Lehrstuhl für Differentialgeometrie
Dewey Decimal Classification:5 Naturwissenschaften und Mathematik / 51 Mathematik / 510 Mathematik
Licence (German):Deutsches Urheberrecht mit Print on Demand