Caracterización del Pensamiento Matemático: Escenarios con estudiantes universitarios y de liceo utilizando temas de la Teoría de Grupos

Charakterisierung des mathematischen Denkens: Szenarien mit Gymnasiasten und Studenten unter Verwendung von Themen der Gruppentheorie

  • Este trabajo tiene dos objetivos principales: el primero es caracterizar el pensamiento matemático y el segundo objetivo es establecer relaciones de causalidad entre el aprendizaje de los elementos de la Teoría de Grupos (TG) y las dimensiones del pensamiento matemático (PM). El tipo de estudio fue experimental explicativo con dos variables, el PM y la TG. Los participantes fueron estudiantes del proseminario de álgebra de la Universidad de Augsburgo, Alemania, los cuales estaban en formación para profesores de matemática y alumnos de dos liceos de la región de Baviera, Alemania. La forma de recogida de los datos fue a través de los escritos libres de los participantes, estos fueron agrupados en dos grupos, ambos de análisis cualitativo hermenéutico social. El primero esta basado en ensayos escrito por los alumnos del liceo 1 y 2, donde la edad de ellos fluctuaba entre 16 y 17 años. El segundo grupo realizo diarios de vida matemático, los cuales fueron realizados por estudiantes delEste trabajo tiene dos objetivos principales: el primero es caracterizar el pensamiento matemático y el segundo objetivo es establecer relaciones de causalidad entre el aprendizaje de los elementos de la Teoría de Grupos (TG) y las dimensiones del pensamiento matemático (PM). El tipo de estudio fue experimental explicativo con dos variables, el PM y la TG. Los participantes fueron estudiantes del proseminario de álgebra de la Universidad de Augsburgo, Alemania, los cuales estaban en formación para profesores de matemática y alumnos de dos liceos de la región de Baviera, Alemania. La forma de recogida de los datos fue a través de los escritos libres de los participantes, estos fueron agrupados en dos grupos, ambos de análisis cualitativo hermenéutico social. El primero esta basado en ensayos escrito por los alumnos del liceo 1 y 2, donde la edad de ellos fluctuaba entre 16 y 17 años. El segundo grupo realizo diarios de vida matemático, los cuales fueron realizados por estudiantes del curso avanzado de álgebra. Este curso de álgebra fue diseñado en el marco de este trabajo. Dentro de los resultados más importantes se tiene la obtención de un modelo que caracteriza el PM, el cual se basa en cuatro dimensiones: 1. Percepción (PMP), que proviene de los sentidos y con 8 categorías; 2. Pensamientos relacionados con los contenidos matemáticos (PMC), que a su vez contempla seis categorías; 3. Estrategias y Procedimientos (PME), que provienen del desarrollo del individuo con el contenido y el medio, la cual contempla 10 categorías; 4. Las capacidades no racionales (PMCR), que provienen del desarrollo de actividades no racionales, donde se mencionaron cinco categorías. Además se incluyeron los medios de comunicación (PMV), como parte de los procesos cognitivos, a saber, a las representaciones, las ideas básicas y las metáforas. Otro resultado sobresaliente tiene relación con el segundo objetivo y se verifica que si hay un tratamiento adecuado de la TG entonces se desarrollan en mayor grado dos de las dimensiones PMC, PMP y los medios de comunicación. Estos dos resultados tienen implicancia en la forma de enseñar matemática y en la forma de aprender matemática. El modelo presentado sirve como marco teórico para futuras investigaciones y muestra la necesidad de incluir la percepción y las capacidades no racionales en todo lo relativo al PM y su desarrollo. Algunas de las preguntas abiertas de este trabajo y que ofrecen material para nuevas investigaciones son relativas al error como estrategia o como pensamiento y una pregunta relativa a la percepción y su influencia directa con los procesos de aprendizaje.show moreshow less
  • Die Motivation für diese Arbeit stammt aus zwei unterschiedlichen Quellen. Die Erste ist vom Typ Arbeitserlebnis und basiert auf der inneren Unruhe, die aufkommt, wenn man Personen Mathematik lehrt, die nicht lernen möchten, oder vielleicht nicht denken möchten, oder kein Interesse haben, oder die Interesse haben, aber nicht in der Lage sind, dieses richtig umzusetzen, usw. Aus dieser Unruhe entstand das Interesse, die Zusammenhänge zwischen Denken und Lernen und insbesondere den Thesen "Jedes Mal, wenn man denkt, lernt man" und "Jedes Mal, wenn man lernt, denkt man", zu untersuchen. Somit ergibt sich die erste Frage aus dem Begriff des Denkens, insbesondere des Mathematischen Denkens, unter der Betrachtung, dass das Lernen im Prozess des Denkens enthalten ist. Die zweite Motivationsquelle stammt aus dem Unterricht über die Gruppentheorie in der mathematischen Ausbildung von zukünftigen Lehrkräften, einem Lehrinhalt, der keine direkte Anwendung in den Lehrplänen der Gymnasien hat.Die Motivation für diese Arbeit stammt aus zwei unterschiedlichen Quellen. Die Erste ist vom Typ Arbeitserlebnis und basiert auf der inneren Unruhe, die aufkommt, wenn man Personen Mathematik lehrt, die nicht lernen möchten, oder vielleicht nicht denken möchten, oder kein Interesse haben, oder die Interesse haben, aber nicht in der Lage sind, dieses richtig umzusetzen, usw. Aus dieser Unruhe entstand das Interesse, die Zusammenhänge zwischen Denken und Lernen und insbesondere den Thesen "Jedes Mal, wenn man denkt, lernt man" und "Jedes Mal, wenn man lernt, denkt man", zu untersuchen. Somit ergibt sich die erste Frage aus dem Begriff des Denkens, insbesondere des Mathematischen Denkens, unter der Betrachtung, dass das Lernen im Prozess des Denkens enthalten ist. Die zweite Motivationsquelle stammt aus dem Unterricht über die Gruppentheorie in der mathematischen Ausbildung von zukünftigen Lehrkräften, einem Lehrinhalt, der keine direkte Anwendung in den Lehrplänen der Gymnasien hat. In deutschen Schulen war im alten Lehrplan für Gymnasien die Definition von Gruppen enthalten. Im derzeitigen Lehrplan für Gymnasien wird die Lehre der Gruppenstruktur nicht explizit erwähnt, gleichwohl können in diesem neuen Lehrplan die Themen für die Wahlfächer frei gewählt werden. Aufgrund dieser Änderung ergab sich die Notwendigkeit, folgende Frage zu beantworten: Warum sollte man mit Elementen der Gruppentheorie arbeiten? Auf diese Frage kann man mindestens vier verschiedene Antworten bekommen: Im Zusammenhang mit 1. dem Erlernen der Mathematikstruktur, 2. der Gleichungen und ihren Lösungen, 3. der Physik und 4. den Symmetrien. Diese vier Argumente dürften für den Studenten nicht ausreichen, der keine Zeit hat, oder vielmehr, der nicht daran interessiert ist, die Gruppentheorie zu beherrschen, und der nur die Mathematik braucht, die er in seiner beruflichen Zukunft lehren wird. Durch diese Motivationen ergaben sich zwei Ziele für diese Arbeit. Das erste Ziel war, das Mathematische Denken zu charakterisieren und damit zu versuchen, die von Wittenberg (1963, S. 53) gestellte Frage "Was ist eigentlich Mathematik und Mathematisches Denken?" zu beantworten. Dies geschah unter der Betrachtung, dass Mathematik ein formales System und Produkt der kognitiven Prozesse (Tall, 1991, 1996) ist, und man in diesen Prozessen Dimensionen entdeckten kann, zu denen man auch die Kommunikationsmittel zählt. Das zweite Ziel dieser Arbeit war, Kausalitätsbeziehungen zwischen dem Erlernen der Elemente der Gruppentheorie und den Dimensionen des Mathematischen Denkens herzustellen. Zu diesem Ziel wurde ein Anwendungsmodell zu der durchgeführten Charakterisierung erstellt, welches als theoretischer Rahmen und als Werkzeug für die Datenanalyse diente. Bevor fortgefahren wird, ist es notwendig, die Auffassung von Mathematik, die in dieser Arbeit verwendet wurde, zu erklären. Diese wurde auf Grundlage von Aussagen diverser Forscher formuliert und ist kurz gesagt folgende: Mathematik ist eine konzeptuelle Domäne. Sie ist die Wissenschaft von Mustern. Sie ist die Wissenschaft von Menge und Raum; geführt von der Anordnung und einer Struktur. Mathematik befasst sich mittels einer logisch-formalen Konstruktion mit der Symbolik in Bezug auf Menge und Raum. Vor allem aber ist Mathematik eine Konstruktion des Menschen, eine kulturelle Produktion, die die idealen Körper schätzt und deren Studiengegenstand abstrakte Konzepte sind, wobei hypothetisch-deduktive Methoden und eine Universalsprache zu ihrer Darstellung (intern und extern) und zu ihrer Organisation als Axiomensystem verwendet werden. Durch all das Genannte ist sie Teil allen menschlichen Handelns. Mit diesem Konzept über das was Mathematik ist, und dem Tatbestand, dass Mathematik eine menschliche Aktivität ist, kann man sich der Auseinandersetzung mit der Frage von Wittenberg (1963) und dem zweiten Forschungsziel widmen. Hierfür wurde ein Arbeitsplan erstellt, dessen praktische Arbeit fünf Etappen umfasste: Literatursammlung, Ausarbeitung der Fragebögen und der Unterrichtssequenzen für Schüler und Studenten, Durchführung der Befragungen und der Unterrichtssequenzen, Datenerfassung und deren Auswertung und zum Schluss die schriftliche Ausarbeitung und das Ziehen der Schlussfolgerungen.show moreshow less

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Metadaten
Author:Pamela Reyes-Santander
URN:urn:nbn:de:bvb:384-opus4-26279
Frontdoor URLhttps://opus.bibliothek.uni-augsburg.de/opus4/2627
Advisor:Volker Ulm
Type:Doctoral Thesis
Language:Spanish
Publishing Institution:Universität Augsburg
Granting Institution:Universität Augsburg, Mathematisch-Naturwissenschaftlich-Technische Fakultät
Date of final exam:2012/07/02
Release Date:2014/04/08
Tag:Mathematisches Denken
pensamiento matemático; percepción
GND-Keyword:Mathematikunterricht; Lehr-Lern-Forschung; Lernpsychologie; Denken; Wahrnehmung; Gruppentheorie
Institutes:Mathematisch-Naturwissenschaftlich-Technische Fakultät
Mathematisch-Naturwissenschaftlich-Technische Fakultät / Institut für Mathematik
Mathematisch-Naturwissenschaftlich-Technische Fakultät / Institut für Mathematik / Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik
Dewey Decimal Classification:3 Sozialwissenschaften / 37 Bildung und Erziehung / 370 Bildung und Erziehung
5 Naturwissenschaften und Mathematik / 51 Mathematik / 510 Mathematik
Licence (German):Deutsches Urheberrecht mit Print on Demand