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Christian Bräu

• Ein k-Zylinder im d-dimensionalen euklidischen Raum, wobei 0<k<d, ist eine k-dimensionale Ebene, welche mittels einer kompakten Zylinderbasis aus dem orthogonalen Komplement dieser Ebene verdickt wird. Eine abzählbare Familie derartiger Zylinder, welche einen stationären Poisson-Prozess auf der Menge aller k-Zylinder bilden, heißt ein stationärer Poisson-k-Zylinderprozess und die hiermit gebildete Vereinigungsmenge ein stationäres Poisson-k-Zylindermodell. Es wird zunächst gezeigt, dass stationäre Poisson-k-Zylinderprozesse bzw. deren Vereinigungsmengen stets ergodisch sind. Anschließend wird eine hinreichende und notwendige Bedingung für die Mischungseigenschaft bewiesen. Außerdem wird das Kapazitätsfunktional des Schnittes eines stationären Poisson-k-Zylindermodells mit einem festen linearen Unterraum bestimmt. Ein Großteil der Arbeit beschäftigt sich mit dem Spezialfall k=d-1. In diesem Fall sind die Zylinder "dicke Hyperebenen". Hier werden Punktprozesse untersucht, welche durchEin k-Zylinder im d-dimensionalen euklidischen Raum, wobei 0<k<d, ist eine k-dimensionale Ebene, welche mittels einer kompakten Zylinderbasis aus dem orthogonalen Komplement dieser Ebene verdickt wird. Eine abzählbare Familie derartiger Zylinder, welche einen stationären Poisson-Prozess auf der Menge aller k-Zylinder bilden, heißt ein stationärer Poisson-k-Zylinderprozess und die hiermit gebildete Vereinigungsmenge ein stationäres Poisson-k-Zylindermodell. Es wird zunächst gezeigt, dass stationäre Poisson-k-Zylinderprozesse bzw. deren Vereinigungsmengen stets ergodisch sind. Anschließend wird eine hinreichende und notwendige Bedingung für die Mischungseigenschaft bewiesen. Außerdem wird das Kapazitätsfunktional des Schnittes eines stationären Poisson-k-Zylindermodells mit einem festen linearen Unterraum bestimmt. Ein Großteil der Arbeit beschäftigt sich mit dem Spezialfall k=d-1. In diesem Fall sind die Zylinder "dicke Hyperebenen". Hier werden Punktprozesse untersucht, welche durch die Schnittpunkte der Hyperebenen, aus denen die Ränder der Zylinder bestehen, erzeugt werden und zusätzlich einer abhängigen Verdünnung unterworfen werden. Insbesondere wird ein zentraler Grenzwertsatz hierfür bewiesen und die dazugehörige asymptotische Varianz berechnet. Hieraus lässt sich dann ein zentraler Grenzwertsatz für die Euler-Poincaré-Charakteristik eines ebenen Poisson-Zylindermodells in einem wachsenden Beobachtungsfenster folgern. Schließlich werden noch die Polytope untersucht, welche durch das Komplement eines (d-1)-Zylindermodells induziert werden.…
• A k-cylinder in d-dimensional Euclidean space, where 0<k<d, is a k-dimensional subspace, which is dilated by a compact cylinder base taken from the orthogonal complement of this subspace. A countable family of such cylinders, which forms a stationary Poisson point process on the space of all k-cylinders, is called a stationary Poisson cylinder process and the hereby formed union set a stationary Poisson cylinder model. We will show, that stationary Poisson cylinder processes respectively their union sets are always ergodic. Afterwards we proof a necessary and sufficient condition for the mixing property. Furthermore we will determine the capacity functional of the section of a stationary Poisson cylinder model with a linear subspace. The largest part of this work deals with the special case k=d-1. In this case the cylinders are "thick" hyperplanes. We will study point processes induced by the intersection points formed by the hyperplanes, which form the boundary of the cylinders.A k-cylinder in d-dimensional Euclidean space, where 0<k<d, is a k-dimensional subspace, which is dilated by a compact cylinder base taken from the orthogonal complement of this subspace. A countable family of such cylinders, which forms a stationary Poisson point process on the space of all k-cylinders, is called a stationary Poisson cylinder process and the hereby formed union set a stationary Poisson cylinder model. We will show, that stationary Poisson cylinder processes respectively their union sets are always ergodic. Afterwards we proof a necessary and sufficient condition for the mixing property. Furthermore we will determine the capacity functional of the section of a stationary Poisson cylinder model with a linear subspace. The largest part of this work deals with the special case k=d-1. In this case the cylinders are "thick" hyperplanes. We will study point processes induced by the intersection points formed by the hyperplanes, which form the boundary of the cylinders. These point processes are additionally subjected to a depended thinning. In particular we will proof a central limit theorem for these point processes and calculate the accompanying asymptotic variance. Due to the depended thinning, methods used for the intersection points of Poisson hyperplane processes cannot be applied here. From this we deduce a central limit theorem for the Euler-Poincaré-characteristic of a planar cylinder model in a growing observation window. Finally we investigate the polytopes, which are induced by the complement of a (d-1)-cylinder model.…