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Lisa Reischmann

• We consider the process of phase separation of a binary system under the influence of mechanical stress and we derive a mathematical multiscale model, which describes an evolving microstructure taking into account the elastic properties of the involved materials. Motivated by phase-separation processes observed in lipid monolayers in film-balance experiments, the starting point of the model is the Cahn–Hilliard equation coupled with the equations of linear elasticity, the so-called Cahn–Larché system. Owing to the fact that the mechanical deformation takes place on a macrosopic scale whereas the phase separation happens on a microscopic level, a multiscale approach is imperative. We assume the pattern of the evolving microstructure to have an intrinsic length scale associated with it, which, after non-dimensionalisation, leads to a scaled model involving a small parameter ɛ > 0, which is suitable for periodic-homogenisation techniques. Furthermore, we present a linearised Cahn–LarchéWe consider the process of phase separation of a binary system under the influence of mechanical stress and we derive a mathematical multiscale model, which describes an evolving microstructure taking into account the elastic properties of the involved materials. Motivated by phase-separation processes observed in lipid monolayers in film-balance experiments, the starting point of the model is the Cahn–Hilliard equation coupled with the equations of linear elasticity, the so-called Cahn–Larché system. Owing to the fact that the mechanical deformation takes place on a macrosopic scale whereas the phase separation happens on a microscopic level, a multiscale approach is imperative. We assume the pattern of the evolving microstructure to have an intrinsic length scale associated with it, which, after non-dimensionalisation, leads to a scaled model involving a small parameter ɛ > 0, which is suitable for periodic-homogenisation techniques. Furthermore, we present a linearised Cahn–Larché system. For the associated ɛ-dependent problem, we proof the existence and uniqueness of a weak solution by a Galerkin approach, for every ɛ > 0. As discretisation in space leads to a linear differential–algebraic system of equations, we apply solution theory for such equations in a weak setting. A-priori estimates enable us to homogenise the linear system rigorously using the concept of two-scale convergence. The full nonlinear problem is formally homogenised using the method of two-scale asymptotic expansion. Both systems leads to models of distributed-microstructure type in the limit. Properties of the limit models are discussed. Finally, numerical simulations based on a finite-element approach are considered to showcase the model behaviour of the nonlinear distributed-microstructure model.…
• Wir betrachten den Prozess der Phasenseparation eines binären Systems unter Einfluss von mechanischer Spannung und leiten ein mathematisches Multiskalenmodell her, das die Entwicklung einer Mikrostruktur unter Berücksichtigung der elastischen Eigenschaften der beteiligten Materialien beschreibt. Motiviert durch Entmischungsprozesse, die in Lipidmonolagen in Filmwaage-Experimenten beobachtet wurden, stellt den Ausgangspunkt des Modells die Cahn-Hilliard-Gleichung dar, die mit den Gleichungen der linearen Elastizität zum sogenannten Cahn-Larché-System gekoppelt wird. Da die mechanische Deformation auf einer makroskopischen Skala stattfindet, wohingegen die Phasenseparation sich auf mikroskopischer Ebene abspielt, ist ein Multiskalenansatz erforderlich. Wir gehen dabei davon aus, dass das Muster der sich entwickelnden Mikrostruktur eine intrinsische Längenskala aufweist, so dass eine Entdimensionalisierung zu einem skalierten Modell mit einem kleinen Parameter ɛ > 0 führt, welches fürWir betrachten den Prozess der Phasenseparation eines binären Systems unter Einfluss von mechanischer Spannung und leiten ein mathematisches Multiskalenmodell her, das die Entwicklung einer Mikrostruktur unter Berücksichtigung der elastischen Eigenschaften der beteiligten Materialien beschreibt. Motiviert durch Entmischungsprozesse, die in Lipidmonolagen in Filmwaage-Experimenten beobachtet wurden, stellt den Ausgangspunkt des Modells die Cahn-Hilliard-Gleichung dar, die mit den Gleichungen der linearen Elastizität zum sogenannten Cahn-Larché-System gekoppelt wird. Da die mechanische Deformation auf einer makroskopischen Skala stattfindet, wohingegen die Phasenseparation sich auf mikroskopischer Ebene abspielt, ist ein Multiskalenansatz erforderlich. Wir gehen dabei davon aus, dass das Muster der sich entwickelnden Mikrostruktur eine intrinsische Längenskala aufweist, so dass eine Entdimensionalisierung zu einem skalierten Modell mit einem kleinen Parameter ɛ > 0 führt, welches für Techniken der periodischen Homogenisierung geeignet ist. Außerdem stellen wir ein linearisiertes Cahn-Larché-System vor. Für das damit verbundene ɛ-abhängige Problem wird für jedes ɛ > 0 die Existenz und Eindeutigkeit einer schwachen Lösung mit Hilfe eines Galerkin-Ansatzes nachgewiesen. Da die Diskretisierung im Ort zu einem linearen differential-algebraischen Gleichungssystem führt, wird die Lösungstheorie für solche Gleichungen in einem schwachen Kontext angewendet. A-priori-Abschätzungen ermöglichen eine rigorose Homogenisierung des linearen Systems mittels Zwei-Skalen-Konvergenz. Das vollständige nichtlineare Problem wird formal mit der Methode der asymptotischen Zwei-Skalen-Entwicklung homogenisiert. Beide Systeme führen beim Übergang zum Grenzwert zu Modellen vom sogenannten Verteilte-Mikrostruktur-Typ. Eigenschaften der Grenzwert-Modelle werden diskutiert. Schließlich werden numerische Simulationen, die auf einem Finite-Elemente-Ansatz basieren, betrachtet, um das Modellverhalten des nichtlinearen Grenzwertmodells vom Verteilte-Mikrostruktur-Typ aufzuzeigen.…