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Thomas Wörle

• Die Konstruktion der konvexen Hülle einer vorgegebenen Punktmenge im endlich-dimensionalen euklidischen Raum hat fundamentale Bedeutung für die "Computational Geometry" und die Polyedertheorie. Zur Beschreibung des resultierenden Polytops reicht es aus, eine Aufzählung aller Facetten vorzunehmen. Eine dazu duale und damit weitgehend äquivalente Problemstellung stellt die Enumeration sämtlicher Ecken eines speziellen Polyeders dar. Dieses ergibt sich dadurch, dass durch die Punktmenge lineare Ungleichungsrestriktionen im Raum definiert werden. Mit Schwerpunkt auf letzterer Sichtweise werden in dieser Arbeit vier bekannte Algorithmen vorgestellt: der Gift-Wrapping-Algorithmus von Chand und Kapur, das Verfahren von Avis und Fukuda, der Shelling-Algorithmus von Seidel und die Double-Description-Methode von Motzkin et al.. Von Interesse ist nun, welches Verfahren zur Aufzählung aller Ecken bzw. Facetten herangezogen werden soll, wenn keine weiteren Informationen zur speziellenDie Konstruktion der konvexen Hülle einer vorgegebenen Punktmenge im endlich-dimensionalen euklidischen Raum hat fundamentale Bedeutung für die "Computational Geometry" und die Polyedertheorie. Zur Beschreibung des resultierenden Polytops reicht es aus, eine Aufzählung aller Facetten vorzunehmen. Eine dazu duale und damit weitgehend äquivalente Problemstellung stellt die Enumeration sämtlicher Ecken eines speziellen Polyeders dar. Dieses ergibt sich dadurch, dass durch die Punktmenge lineare Ungleichungsrestriktionen im Raum definiert werden. Mit Schwerpunkt auf letzterer Sichtweise werden in dieser Arbeit vier bekannte Algorithmen vorgestellt: der Gift-Wrapping-Algorithmus von Chand und Kapur, das Verfahren von Avis und Fukuda, der Shelling-Algorithmus von Seidel und die Double-Description-Methode von Motzkin et al.. Von Interesse ist nun, welches Verfahren zur Aufzählung aller Ecken bzw. Facetten herangezogen werden soll, wenn keine weiteren Informationen zur speziellen Struktur des Polyeders vorhanden sind. Da durch die Worst-Case-Analyse und durch praktische Erfahrungen keine Dominanz eines Verfahrens gegenüber einem anderen festzustellen ist, wird zu einem probabilistischen Vergleich des Rechenaufwands der Algorithmen übergegangen. Das Rotationssymmetriemodell bildet hierfür die Grundlage zur Bewertung des Average-Case-Verhaltens der genannten Algorithmen. Dabei wird auf eine spezielle Unterfamilie von rotationssymmetrischen Verteilungen zurückgegriffen, die sich für die notwendigen Integrationsoperationen zur Erwartungswertberechnung besonders eignen. Die Integraldarstellungen für diese Erwartungswerte des Rechenaufwandes werden so weit wie möglich analytisch ausgewertet. Gleichzeitig werden in allen Fällen empirische Resultate aus Testserien zur Untermauerung und Bereicherung der theoretischen Erkenntnisse präsentiert. Bei der Analyse der Algorithmen haben sich zu einzelnen Themen weitere interessante Seitenfragen ergeben, die stets empirisch und teilweise auch theoretisch untersucht werden. Besonders hervorzuheben ist dabei die Fragestellung nach der Wahrscheinlichkeit des Antreffens einer Aufstiegskantenrichtung unter gewissen Bedingungen. Hierzu wird für eine feste Dimension und eine groß werdende Zahl an Restriktionen ein interessantes Ergebnis präsentiert.…
• The problem to construct the convex hull of a given set of points in the finite-dimensional Euclidean space is fundamental for the "Computational Geometry" and the theory of polyhedra. An enumeration of all facets is sufficient for the description of the resulting polytope. This problem is in a large degree equivalent to the problem of enumerating all vertices of a special polyhedron. In this dual version of the problem linear inequality-restrictions are defined by the set of points. In this work four well-known algorithms are introduced mainly in the point of view of the last mentioned problem: the Gift-Wrapping-Algorithm of Chand and Kapur, the procedure of Avis and Fukuda, the Shelling-Algorithm of Seidel and the Double-Description-Method of Motzkin et al.. It is of interest, which procedure should be used in order to enumerate all vertices or facets, if no additional information is available about the special structure of the polyhedron. Since we cannot observe a dominance ofThe problem to construct the convex hull of a given set of points in the finite-dimensional Euclidean space is fundamental for the "Computational Geometry" and the theory of polyhedra. An enumeration of all facets is sufficient for the description of the resulting polytope. This problem is in a large degree equivalent to the problem of enumerating all vertices of a special polyhedron. In this dual version of the problem linear inequality-restrictions are defined by the set of points. In this work four well-known algorithms are introduced mainly in the point of view of the last mentioned problem: the Gift-Wrapping-Algorithm of Chand and Kapur, the procedure of Avis and Fukuda, the Shelling-Algorithm of Seidel and the Double-Description-Method of Motzkin et al.. It is of interest, which procedure should be used in order to enumerate all vertices or facets, if no additional information is available about the special structure of the polyhedron. Since we cannot observe a dominance of an algorithm to another algorithm by the use of worst-case analysis and by practical experience, we change over to a probabilistic comparison of the computational effort of the algorithms. The rotation-symmetry model is the basis for the evaluation of the average-case behavior of the mentioned algorithms. A special subfamily of rotation-symmetric distributions, which will be in particular suitable for the necessary integrations for the calculation of the average-case values, will be used. For this the integral expressions will be evaluated analytically as far as possible. In addition empirical results of test series will be presented in order to confirm the theoretical insights in all cases. Some additional interesting questions arise from the analysis of the algorithms. These are analyzed empirically and in parts theoretically. In particular the problem to determine the probability for finding an improving edge under specific conditions should be emphasized. For that question an interesting result is presented for fixed dimension and a growing number of restrictions.…