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Kathrin Helmsauer

• We study the Riemannian geometry of the group of diffeomorphisms of principal S^1-bundles M^{2n+1} preserving a stable Hamiltonian structure (ω,λ) or a Hamiltonian structure ω such that the kernel foliation ker(ω) is periodic with some generator R. Herein, we extend results mainly by Ebin and Marsden [EM70], and more recent work by Ebin [Ebi12], and Ebin and Preston [EP13]. We first determine conditions under which the structure-preserving Sobolev diffeomorphisms Diff^s_{ω,λ}(M) and Diff^s_{R,ω}(M) are smooth submanifolds of Diff^s(M). Following the strategy used in [EM70], we show that for the S^1-bundle over the cylinder B=S^1x [-1,1], the orthogonal projection of the tangent bundles projecting TDiff^s(M)|_{Diff^s_{ω,λ}(M)} to TDiff^s_{ω,λ}(M) is a smooth bundle map. As a consequence, local geodesics and therefore, local solutions to the Euler equation exist. Furthermore, we show long-time existence for solutions to the Euler equation on M preserving R and ω for trivialWe study the Riemannian geometry of the group of diffeomorphisms of principal S^1-bundles M^{2n+1} preserving a stable Hamiltonian structure (ω,λ) or a Hamiltonian structure ω such that the kernel foliation ker(ω) is periodic with some generator R. Herein, we extend results mainly by Ebin and Marsden [EM70], and more recent work by Ebin [Ebi12], and Ebin and Preston [EP13]. We first determine conditions under which the structure-preserving Sobolev diffeomorphisms Diff^s_{ω,λ}(M) and Diff^s_{R,ω}(M) are smooth submanifolds of Diff^s(M). Following the strategy used in [EM70], we show that for the S^1-bundle over the cylinder B=S^1x [-1,1], the orthogonal projection of the tangent bundles projecting TDiff^s(M)|_{Diff^s_{ω,λ}(M)} to TDiff^s_{ω,λ}(M) is a smooth bundle map. As a consequence, local geodesics and therefore, local solutions to the Euler equation exist. Furthermore, we show long-time existence for solutions to the Euler equation on M preserving R and ω for trivial S^1-bundles M^{2n+1}=B^{2n}x S^1 and compute the Euler equation for the general case.…
• Wir untersuchen die riemannsche Geometrie der Diffeomorphismengruppe von S^1-Prinzipalbündeln M^{2n+1}, die eine stabile hamiltonsche Struktur (ω,λ) oder eine hamiltonsche Struktur ω mit periodischer Blätterung des Kerns ker(ω) mit Erzeuger R erhalten. Dabei erweitern wir frühere Ergebnisse überwiegend von Ebin und Marsden [EM70], und aus den aktuelleren Arbeiten Ebin [Ebi12] und Ebin und Preston [EP13]. Zuerst bestimmen wir Bedinungen, unter denen die strukturerhaltenden Sobolevdiffeomorphismen Diff^s_{ω,λ}(M) und Diff^s_{R,ω}(M) glatte Untermannigfaltigkeiten von Diff^s(M) sind. Ähnlich zu der Methode aus [EM70] zeigen wir für das S^1-Bündel über dem Zylinder B=S^1x [-1,1], dass die orthogonale Projektion des Tangentialbündels TDiff^s(M)|_{Diff^s_{ω,λ}(M)} auf TDiff^s_{ω,λ}(M) eine glatte Bündelabbildung ist. Folglich existieren lokale Geodäten und damit auch lokale Lösungen der Eulergleichung. Zusätzlich zeigen wir die Langzeitexistenz von Lösungen der Eulergleichung auf M, die RWir untersuchen die riemannsche Geometrie der Diffeomorphismengruppe von S^1-Prinzipalbündeln M^{2n+1}, die eine stabile hamiltonsche Struktur (ω,λ) oder eine hamiltonsche Struktur ω mit periodischer Blätterung des Kerns ker(ω) mit Erzeuger R erhalten. Dabei erweitern wir frühere Ergebnisse überwiegend von Ebin und Marsden [EM70], und aus den aktuelleren Arbeiten Ebin [Ebi12] und Ebin und Preston [EP13]. Zuerst bestimmen wir Bedinungen, unter denen die strukturerhaltenden Sobolevdiffeomorphismen Diff^s_{ω,λ}(M) und Diff^s_{R,ω}(M) glatte Untermannigfaltigkeiten von Diff^s(M) sind. Ähnlich zu der Methode aus [EM70] zeigen wir für das S^1-Bündel über dem Zylinder B=S^1x [-1,1], dass die orthogonale Projektion des Tangentialbündels TDiff^s(M)|_{Diff^s_{ω,λ}(M)} auf TDiff^s_{ω,λ}(M) eine glatte Bündelabbildung ist. Folglich existieren lokale Geodäten und damit auch lokale Lösungen der Eulergleichung. Zusätzlich zeigen wir die Langzeitexistenz von Lösungen der Eulergleichung auf M, die R und ω erhalten, wobei M^{2n+1}=B^{2n}x S^1 ein triviales S^1-Bündel ist, und berechnen die Eulergleichung für den allgemeinen Fall.…