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Phillip Prestel

• Im Jahre 1770 wurde eine Arbeit des Mathematikers und Physikers Albrecht Meister (1724-1788) veröffentlicht, aus der ersichtlich wird, dass er sich unter anderem bereits mit geschlossenen ebenen Kurven auseinandergesetzt hat. Insbesondere beschreibt er eine schwächere Version der Aussage, dass Kurven ineinander verformt beziehungsweise zueinander homotopiert werden können, wenn sie denselben Rotationsindex haben. Ein handfester Beweis dieser Aussage wurde jedoch erst im Jahre 1937 von Hassler Whitney (1907-1989) und William Caspar Graustein (1888-1941) präsentiert. Der erste Schritt zur Klassifikation ebener Kurven war getan. Allerdings können unter generischen Homotopien drei Desaster auftreten, welche Vladimir Igorevich Arnold (1937-2010) näher untersucht hat. In seinem 1993 verfassten Paper konnte er beweisen, dass es drei Invarianten gibt, welche unter je zweien der drei Desaster invariant bleiben. Mit Hilfe dieser Invarianten konnte man nun Kurven bis auf generische HomotopienIm Jahre 1770 wurde eine Arbeit des Mathematikers und Physikers Albrecht Meister (1724-1788) veröffentlicht, aus der ersichtlich wird, dass er sich unter anderem bereits mit geschlossenen ebenen Kurven auseinandergesetzt hat. Insbesondere beschreibt er eine schwächere Version der Aussage, dass Kurven ineinander verformt beziehungsweise zueinander homotopiert werden können, wenn sie denselben Rotationsindex haben. Ein handfester Beweis dieser Aussage wurde jedoch erst im Jahre 1937 von Hassler Whitney (1907-1989) und William Caspar Graustein (1888-1941) präsentiert. Der erste Schritt zur Klassifikation ebener Kurven war getan. Allerdings können unter generischen Homotopien drei Desaster auftreten, welche Vladimir Igorevich Arnold (1937-2010) näher untersucht hat. In seinem 1993 verfassten Paper konnte er beweisen, dass es drei Invarianten gibt, welche unter je zweien der drei Desaster invariant bleiben. Mit Hilfe dieser Invarianten konnte man nun Kurven bis auf generische Homotopien voneinander unterscheiden. Da die Bestimmung der Invarianten nicht immer ganz einfach ist, suchte man bald nach einer Möglichkeit, die Invarianten direkt aus einer Kurve zu bestimmen. Emmanuel Ferrand fand eine solche schließlich 1997 mit Hilfe von Doppeltangenten. In dieser Arbeit werden nun zunächst die Grundlagen der ebenen Kurven vorgestellt und das Whitney-Graustein Deformations-Theorem sowie ein weiteres Theorem von Whitney bewiesen (Kapitel 2). Danach betrachten wir besagte Desaster und führen Arnolds Basis-Invarianten ein (Kapitel 3). In Kapitel 4 werden mit Hilfe von Doppelpunktindices weitere Invarianten definiert und ein Zusammenhang dieser mit den Basis-Invarianten bewiesen, aus welchem die Additivität der Invarianten gefolgert werden kann. Zuletzt wird das Konzept der Doppeltangenten eingeführt und ein Theorem bewiesen, welches es ermöglicht, die Basis-Invarianten direkt aus einer Kurve zu bestimmen (Kapitel 5).…