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Werner Ernst Schabert

• This thesis is concerned with the application of adaptive mortar edge element methods to the numerical solution of the quasi-stationary limit of Maxwell’s equations, also known as the eddy current model, in three space dimensions. Although eddy current model is time-dependent, we restrict our analysis to time-independent problems that arise from a time discretization of the partial differential equations. For the solution of these equations we consider the mortar approach, which relies on the macro-hybrid variational formulation of the problem with respect to a geometrically conforming, nonoverlapping decomposition of the computational domain. Based on independent, locally quasi-uniform and shape regular simplicial triangulation of the subdomains we use the lowest order curl-conforming edge elements of Nedelec's first family for the discretization of the problem. Due to nonmatching triangulations at the interfaces of adjacent subdomains, we have to impose weak continuity constraints onThis thesis is concerned with the application of adaptive mortar edge element methods to the numerical solution of the quasi-stationary limit of Maxwell’s equations, also known as the eddy current model, in three space dimensions. Although eddy current model is time-dependent, we restrict our analysis to time-independent problems that arise from a time discretization of the partial differential equations. For the solution of these equations we consider the mortar approach, which relies on the macro-hybrid variational formulation of the problem with respect to a geometrically conforming, nonoverlapping decomposition of the computational domain. Based on independent, locally quasi-uniform and shape regular simplicial triangulation of the subdomains we use the lowest order curl-conforming edge elements of Nedelec's first family for the discretization of the problem. Due to nonmatching triangulations at the interfaces of adjacent subdomains, we have to impose weak continuity constraints on the tangential traces across the skeleton of the decomposition by means of appropriately chosen Lagrange multipliers. The mortar edge element discretized problems give rise to indefinite algebraic saddle point problems. Since the saddle point problem behaves utterly different on the large kernel of the curl-operator, standard iterative solvers that do not take care of the kernel fail in this case. We analyze this problem in great detail and develop a multilevel iterative solver featuring a hybrid smoother. The key ingredient of the smoother is an additional defect correction on the subspace of irrotational vector fields. However, in order to guarantee convergence of the iterative scheme, we have to impose compatibility constraints on the triangulations at the interfaces. To improve the accuracy of the computed solution while keeping the computational cost as small as possible, we put particular emphasis on mesh adaptivity. We present an a posteriori error estimator that relies on a Helmholtz decomposition of the error into an irrotational and weakly solenoidal part. We show that the error estimator is both efficient and reliable, provided certain assumptions are fulfilled. Finally, we demonstrate the convergence properties of the multigrid scheme and the quality of the error estimator by solving several academic test problems that cover a wide range of physical applications.…
• Diese Dissertation beschäftigt sich mit der Anwendung adaptiver Mortar-Kantenelement-Methoden zur Lösung des quasistatischen Limes der Maxwell Gleichungen, auch bekannt als Wirbelstrommodell, in 3 Raumdimensionen. Obwohl das Wirbelstrommodell zeitabhängig ist, beschränkt sich die Analyse auf zeitunabhängige Probleme, die bei einer Zeitdriskretisierung der partiellen Differentialgleichungen entstehen. Zur Lösung dieser Gleichungen betrachten wir den Mortar Ansatz, der auf einer, hinsichtlich einer geometrisch konformen, nichtüberschneidenden Zerlegung des Rechengebiets, macro-hybriden variationellen Formulierung des Problems basiert. Ausgehend von unabhängigen, lokal quasiuniformen und fromregulären simplizialen Triangulierung der Teilgebiete, werden curl-konforme Kantenelemente niedrigster Ordnung aus Nedelecs erster Familie für die Diskretisierung des Problems verwendet. Da die Triangulierungen an den Grenzflächen benachbarter Teilgebiete nicht übereinstimmen, wird mittels LagrangeDiese Dissertation beschäftigt sich mit der Anwendung adaptiver Mortar-Kantenelement-Methoden zur Lösung des quasistatischen Limes der Maxwell Gleichungen, auch bekannt als Wirbelstrommodell, in 3 Raumdimensionen. Obwohl das Wirbelstrommodell zeitabhängig ist, beschränkt sich die Analyse auf zeitunabhängige Probleme, die bei einer Zeitdriskretisierung der partiellen Differentialgleichungen entstehen. Zur Lösung dieser Gleichungen betrachten wir den Mortar Ansatz, der auf einer, hinsichtlich einer geometrisch konformen, nichtüberschneidenden Zerlegung des Rechengebiets, macro-hybriden variationellen Formulierung des Problems basiert. Ausgehend von unabhängigen, lokal quasiuniformen und fromregulären simplizialen Triangulierung der Teilgebiete, werden curl-konforme Kantenelemente niedrigster Ordnung aus Nedelecs erster Familie für die Diskretisierung des Problems verwendet. Da die Triangulierungen an den Grenzflächen benachbarter Teilgebiete nicht übereinstimmen, wird mittels Lagrange Multiplikatoren eine schwache Stetigkeit der tangentialen Spuren an den Grenzflächen erzwungen. Das durch Mortar-Kantenelemente diskretisierte Problem führt zu einem indefiniten algebraischen Sattelpunktproblem. Da sich das Sattellpunktproblem auf dem großen Kern des curl-Operators völlig verschieden verhält, versagen gewöhnliche iterative Löser, die den Kern nicht berücksichtigen. Dieses Problem wird detailliert analysiert und ein iterativer Mehrgitter-Löser entwickelt, dessen Hauptbestandteil ein hybrider Glätter ist. Der Kern dieses Glätters ist eine zusätzliche Defektkorrektur auf dem Unterraum der rotationsfreien Vektorfelder. Jedoch müssen Kompatibilitätsbedingungen an die Triangulierungen an den Grenzflächen gestellt werden um die Konvergenz des Verfahrens zu garantieren. Um die Genauigkeit der berechneten Lösung zu erhöhen und gleichzeitig den Rechenaufwand so klein wie möglich zu halten, wird besonderer Wert auf Gitteradaptivität gelegt. Es wird ein Fehlerschätzer vorgestellt, der auf einer Helmholtz Zerlegung des Fehlers in einen rotationsfreien und einen schwach divergenzfreien Anteil beruht. Dieser Fehlerschätzer ist verlässlich und effizient sofern gewissen Bedingungen erfüllt sind. Um die Konvergenzeigenschaften des Mehrgitterverfahrens und die Qualität des Fehlerschätzers zu zeigen, werden einige akademische Testprobleme, die einen großen Bereich physikalischer Anwendungen abdecken, betrachtet.…