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Matthias Krahe

• This thesis transfers the twistor construction of (isotropic) pluriharmonic maps to para-complex geometry. A para-complex (also called split-complex or hyperbolic complex) manifold is a smooth manifold equipped with an involution J on its tangent bundle, such that the +1 and -1 eigendistributions of J are integrable and of the same dimension. Note that a pseudo-Riemannian metric g which is compatible to this structure (i.e. J is g-skew) has necessarily signature (n,n), where 2n=dim(M). Given a para-quaternionic Kähler manifold M, it has been shown that the twistor bundle Z of para-complex structures over M is canonically a para-holomorphic contact manifold and that maximal para-Kähler submanifolds of M (which are images of para-pluriharmonic maps) are the projections of Lagrangian submanifolds of Z. We give a proof of the para-complex Darboux theorem and derive the fact that each maximal para-complex submanifold of M is locally given by a para-holomorphic function. We also show thatThis thesis transfers the twistor construction of (isotropic) pluriharmonic maps to para-complex geometry. A para-complex (also called split-complex or hyperbolic complex) manifold is a smooth manifold equipped with an involution J on its tangent bundle, such that the +1 and -1 eigendistributions of J are integrable and of the same dimension. Note that a pseudo-Riemannian metric g which is compatible to this structure (i.e. J is g-skew) has necessarily signature (n,n), where 2n=dim(M). Given a para-quaternionic Kähler manifold M, it has been shown that the twistor bundle Z of para-complex structures over M is canonically a para-holomorphic contact manifold and that maximal para-Kähler submanifolds of M (which are images of para-pluriharmonic maps) are the projections of Lagrangian submanifolds of Z. We give a proof of the para-complex Darboux theorem and derive the fact that each maximal para-complex submanifold of M is locally given by a para-holomorphic function. We also show that there is a twistor construction of para-pluriharmonic maps into pseudo-Riemannian symmetric spaces (where a map from a para-Kähler manifold N to M is called para-pluriharmonic, if it is harmonic along every para-complex curve in N): Each full isotropic para-pluriharmonic map f into a symmetric space M defines a twistor bundle Z over M and a para-holomorphic superhorizontal lift F of f; vice versa, given a map F with these properties, its projection f is isotropic para-pluriharmonic. In the case where M is a symmetric para-quaternionic Kähler manifold, the two constructions coincide. Moreover, the twistor space is an open orbit in a real projective variety, and in the quaternionic Kähler case, there is a para-holomorphic contact isomorphism between a Zariski-open subset of this variety and the para-complex Heisenberg group of the respective dimension. This extends to a birational equivalence of twistor spaces of any two symmetric para-quaternionic Kähler manifolds of the same dimension. (Para-)pluriharmonic maps are closely related to (para-)tt*-equations; the last chapter of this work provides a short overview of this.…
• In dieser Arbeit wird die Twistorkonstruktion (isotroper) pluriharmonischer Abbildungen auf die para-komplexe Geometrie übertragen. Eine para-komplexe (auch: hyperbolisch komplexe) Mannigfaltigkeit ist eine glatte Mannigfaltigkeit mit einer Involution J auf ihrem Tangentialbündel, so dass die (+1)- und (-1)-Eigendistributionen von J integrabel sind und die gleiche Dimension besitzen. Man bemerke, dass jede hierzu kompatible pseudo-Riemannsche Metrik g (d.h. J ist g-schief) automatisch Signatur (n,n) hat, wobei 2n=dim(M). Sei M eine para-quaternonische Kähler-Mannigfaltigkeit. Es ist bekannt, dass das Twistorbündel Z der para-komplexen Strukturen über M in kanonischer Weise eine para-holomorphe Kontaktmannigfaltigkeit ist, und dass maximale Kähler-Untermannigfaltigkeiten von M (diese sind Bilder para-pluriharmonischer Abbildungen) genau die Projektionen Lagrange'scher Untermannigfaltigkeiten von Z sind. Wir beweisen das para-komplexe Darboux-Theorem, woraus dann folgt, dass maximaleIn dieser Arbeit wird die Twistorkonstruktion (isotroper) pluriharmonischer Abbildungen auf die para-komplexe Geometrie übertragen. Eine para-komplexe (auch: hyperbolisch komplexe) Mannigfaltigkeit ist eine glatte Mannigfaltigkeit mit einer Involution J auf ihrem Tangentialbündel, so dass die (+1)- und (-1)-Eigendistributionen von J integrabel sind und die gleiche Dimension besitzen. Man bemerke, dass jede hierzu kompatible pseudo-Riemannsche Metrik g (d.h. J ist g-schief) automatisch Signatur (n,n) hat, wobei 2n=dim(M). Sei M eine para-quaternonische Kähler-Mannigfaltigkeit. Es ist bekannt, dass das Twistorbündel Z der para-komplexen Strukturen über M in kanonischer Weise eine para-holomorphe Kontaktmannigfaltigkeit ist, und dass maximale Kähler-Untermannigfaltigkeiten von M (diese sind Bilder para-pluriharmonischer Abbildungen) genau die Projektionen Lagrange'scher Untermannigfaltigkeiten von Z sind. Wir beweisen das para-komplexe Darboux-Theorem, woraus dann folgt, dass maximale para-komplexe Untermannigfaltigkeiten von M lokal durch eine para-holomorphe Funktion beschrieben werden. Weiterhin entwickeln wir eine Twistorkonstruktion für para-pluriharmonische Abbildungen in pseudo-Riemannsche symmetrische Räume. (Eine Abbildung von einer para-Kähler-Mannigfaltigkeit N in eine pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeit M heißt para-pluriharmonisch, wenn sie harmonisch entlang jeder para-komplexen Kurve in N ist.) Jede volle isotrope para-pluriharmonische Abbildung f in einen symmetrischen Raum M definiert ein Twistorbündel Z über M und einen para-holomorphen superhorizontalen Lift F von f; hat man umgekehrt eine Abbildung F mit diesen Eigenschaften, so ist ihre Projektion isotrop para-pluriharmonisch. In dem Fall, dass M eine symmetrische para-quaternionische Kähler-Mannigfaltigkeit ist, fallen die beiden Konstruktionen zusammen. Weiterhin ist der Twistorraum ein offener Orbit in einer reellen projektiven Varietät, und im para-quaternionischen Kähler-Fall hat man einen Kontakt-Isomorphismus zwischen einer Zariski-offenen Teilmenge dieser Varietät und der para-komplexen Heisenberg-Gruppe der entsprechenden Dimension. Diese liefert eine birationale Äquivalenz zwischen den Twistorräumen beliebiger zweier symmetrischer para-quaternionischer Kähler-Mannigfaltigkeiten gleicher Dimension. (Para-)pluriharmonische Abbildungen hängen eng mit (para-)tt*-Gleichungen zusammen; hierüber liefert das letzte Kapitel einen kurzen Überblick.…