On problems of periodic homogenisation of highly heterogeneous media
- This thesis focuses on problems of periodic homogenisation of families of elliptic and parabolic problems that are constituted by non-linear, monotone operators. A key difficulty in these problems is the simultaneous presence of both fast and slow domains which characterise highly heterogeneous materials. In analytical terms, one finds that classical compactness theorems are ruled out from the very outset making compensation techniques necessary. This works suggests monotonicity as a method of compensation; however, this requires not only on having a refined machinery of two-scale convergence available but also the availability of certain recovery sequences. We sketch a framework which allows to understand the compensation technique as a modified completion procedure provided the existence of recovery sequences can be established. Unfortunately, this latter question could not be resolved in this work, besides its vital importance to our approach.
- Diese Dissertation behandelt Probleme der periodischen Homogenisierung welche durch elliptische und parabolische, nicht-lineare, monotone Operatoren gegeben sind. Eine Hauptschwierigkeit besteht in der gleichzeitigen Gegenwart von schnellen und langsamen Gebietsbereichen welche charakteristisch ist für stark heterogene Materialien. Aus analytischer Sicht zeigt sich, dass klassische Kompaktheitsresultate hierbei nicht anwendbar sind, so dass Kompensationstechniken grundlegende Bedeutung zukommt. Diese Arbeit erarbeitet Monotonie als eine solche Technik, jedoch benötigt diese eine ausgereifte Maschinerie an Zweiskalenkonvergenz und sogenannter Wiederherstellungsfolgen. Wir skizzieren einen Rahmen in welchem unsere Kompensationstechnik als eine modifizierte Vervollständigung aufgefasst werden kann, sofern die Existenz von Wiederherstellungsfolgen gesichert ist. Leider bleibt deren Existenz im Rahmen dieser Arbeit trotz deren Wichtigkeit offen.
