Open Access

Sebastian Heitzer

• Diese Arbeit untersucht die spezifische Euler-Poincaré-Charakteristik (EPC) von stationären zufälligen Keim-Korn-Modellen mit konvexen und kompakten Körnern in wachsenden Beobachtungsfenstern. Geschätzt wird die EPC mit Hilfe der positiven und negativen Tangentenpunkte des Keim-Korn-Modells im Beobachtungsfenster. Im Spezialfall eines poissonschen Keim-Korn-Modells können Formeln für die Intensität und asymptotische Varianz der Tangentenpunktprozesse angeben werden. Im Zentrum dieser Arbeit steht die Formulierung von zentralen Grenzwertsätzen für die EPC im Falle von poissonschen oder β-mischenden Keim-Prozessen. Um diese Grenzwertsätze für Hypothesentests nutzen zu können, wird zusätzlich die asymptotische Varianz asymptotisch erwartungstreu und konsistent geschätzt. Die Güte des vorgeschlagenen Schätzers der EPC wird durch umfangreiche Simulationen untersucht.
• This thesis is focused on investigating the specific Euler-Poincaré characteristic (EPC) of stationary random germ-grain models with convex and compact grains in expanding observation windows. The EPC is estimated using the positive and negative tangent points of the germ-grain model inside the observation window. In the special case of a stationary Poisson germ-grain model, it is possible to derive explicit formulas for the intensity and asymptotic variance of these tangent point processes. The main result of this thesis is proving various central limit theorems of the EPC in case of Poisson or β-mixing germ processes. In order to use these limit theorems for testing hypotheses, an asymptotically unbiased and mean-square consistent estimator for the asymptotic variance is derived. The quality of the suggested EPC estimator is investigated using large-scale simulations.